Il
sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano
in pratica dobbiamo
riprendere il sistema come fatto sulla retta e lo applichiamo su due
rette perpendicolari
Consideriamo
un piano e, su di esso, due rette fra loro perpendicolari e un'unita'
di misura uIndichiamo come punto O (origine) il punto di incontro delle rette e ad esso assegniamo la coppia di valori (0,0)
Sulla retta orizzontale fisso il punto 1 ottenuto riportando a destra di O l'unita' di misura.
Sulla retta verticale fisso il punto 1 ottenuto riportando in alto rispetto ad O l'unita' di misura.
Dal primo punto ottenuto mando la verticale e dal secondo l'orizzontale; chiamo U (unita') o punto (1,1) il punto ottenuto.
In questo modo ottengo una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali, nel senso che ad ogni coppia di numeri corrisponde un punto nel piano e ad ogni punto nel piano corrisponde una coppia di numeri reali.
Indicheremo con x o asse delle ascisse la retta orizzontale
indicheremo invece con y o asse delle ordinate la retta verticale
Ancora
sul piano cartesiano
Con la costruzione precedente abbiamo diviso il piano in 4 parti che chiameremo quadranti e di solito vengono indicati con numeri romani
- Nel primo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate positive
-vedi ad esempio il punto A(2,3)_ - Nel secondo quadrante i punti hanno la prima coordinata negativa e la seconda positiva
-vedi ad esempio il punto B(-4,2) - Nel terzo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate negative
-vedi ad esempio il punto C(-5,-3) - Nel quarto quadrante i punti hanno la prima
coordinata positiva e la seconda negativa
-vedi ad esempio il punto D(3,-4)
L'asse orizzontale sara'
chiamato asse x oppure asse
delle ascisse e i suoi punti avranno sempre la seconda
coordinata uguale a zero
(1,0) (2,0) (3,0) sono tutti punti sull'asse x.
(1,0) (2,0) (3,0) sono tutti punti sull'asse x.
L'asse verticale sara'
chiamato asse y oppure asse
delle ordinate e i suoi punti avranno sempre la prima
coordinata uguale a zero
(0,1) (0,2) (0,3) sono tutti punti sull'asse y.
(0,1) (0,2) (0,3) sono tutti punti sull'asse y.
Proviamo ora a fare un primo esercizio
Convenzioni
Indicheremo i punti del piano con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino:
A,
B, C, D, ...
mentre indicheremo le
coppie di numeri reali corrispondenti, con le lettere minuscole
(x,y)
con la convenzione di
usare le prime lettere dell'alfabeto
(a,b),
(c,d)
oppure le ultime lettere
dotate di indici
(x1,
y1,) (x2,
y2,) (x3,
y3)
per indicare i valori che
ci sono noti.
Invece useremo le ultime
lettere dell'alfabeto senza indici per valori che non conosciamo e
che debbono essere trovati.
(x,
y)
inoltre: indichera'
sempre l'origine
quindi:
A=(x1, y1) indichera' un punto di cui conosciamo il valore
P=(x, y) indichera' un punto di cui dobbiamo trovare il valore
Distanza
fra due punti nel piano
Consideriamo i punti nel
piano
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
voglio trovare la loro distanza.
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
voglio trovare la loro distanza.
il fatto di indicare le
coordinate con x1, y1,
x2, y2
significa che in un problema questi dati debbono essere noti
Per
comodita' supponiamo che entrambe i punti si trovino nel primo
quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il
pianoDa A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH.
Di esso conoscoAH= x2- x1
BH= y2- y1
Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare AB
AB2 = AH2 + BH2
AB =
(AH2
+ BH2)Sostituendo:AB =
[(x2-
x1)2
+ (y2-
y1)2]
come
si legge
la radice comprende tutta
l'espressione dopo l'uguale; per indicarlo io ho dovuto mettere le
parentesi quadre, invece tu, se prolunghi la barra superiore della
radice, non devi usarle
e questa e' la formula che cercavamo
qualche esercizio
Punto
medio di un segmento
Conoscendo le coordinate di due punti nel piano e' possibile determinare le coordinate del loro punto intermedio (punto medio del segmento)
Consideriamo i punti nel
piano
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
Inoltre chiamo M = (xM, yM)
il loro punto di mezzo
Per comodita' supponiamo che i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A , B e M traccio le coordinate
Sull'asse x le proiezioni saranno A' , B' e M'
Poiche' M e' il punto di mezzo fra A e B allora anche M' sara' il punto di mezzo fra A' e B'
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
Inoltre chiamo M = (xM, yM)
il loro punto di mezzo
Per comodita' supponiamo che i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A , B e M traccio le coordinate
Sull'asse x le proiezioni saranno A' , B' e M'
Poiche' M e' il punto di mezzo fra A e B allora anche M' sara' il punto di mezzo fra A' e B'
Per il Teorema
di Talete essendo le verticali fra loro parallele
quindiA'M' =M'B'
Sostituendo le misurexM - x1 = x2 - xM
devo ricavare xM xM + xM = x1 + x2
2xM = x1 + x2
x1 + x2 xM = --------------
2
Come ho trovato il punto medio sulle x posso trovarlo sulle y
y1 + y2 yM = --------------
2
Riepilogando M = ( (x1 + x2)/2 , (y1 + y2)/2 ) Il punto medio di un segmento di estremi dati e' dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi
Esempio: trovare il punto medio del segmento di estremi A(2,3) e B(4,7)
xM = (2 + 4)/2 = 6/2 =3
yM = (3 + 7)/2 = 10/2 =5
quindi M(3,5)
