Piano cartesiano

Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

---

in pratica dobbiamo riprendere il sistema come fatto sulla retta e lo applichiamo su due rette perpendicolari

---

Consideriamo un piano e, su di esso, due rette fra loro perpendicolari e un'unita' di misura u
Indichiamo come punto O (origine) il punto di incontro delle rette e ad esso assegniamo la coppia di valori (0,0)
Sulla retta orizzontale fisso il punto 1 ottenuto riportando a destra di O l'unita' di misura.
Sulla retta verticale fisso il punto 1 ottenuto riportando in alto rispetto ad O l'unita' di misura.
Dal primo punto ottenuto mando la verticale e dal secondo l'orizzontale; chiamo U (unita') o punto (1,1) il punto ottenuto.
In questo modo ottengo una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali, nel senso che ad ogni coppia di numeri corrisponde un punto nel piano e ad ogni punto nel piano corrisponde una coppia di numeri reali.

---

Indicheremo con x o asse delle ascisse la retta orizzontale
indicheremo invece con y o asse delle ordinate la retta verticale

Ancora sul piano cartesiano

Con la costruzione precedente abbiamo diviso il piano in 4 parti che chiameremo quadranti e di solito vengono indicati con numeri romani

---

• Nel primo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate positive
  -vedi ad esempio il punto A(2,3)_
• Nel secondo quadrante i punti hanno la prima coordinata negativa e la seconda positiva
  -vedi ad esempio il punto B(-4,2)
• Nel terzo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate negative
  -vedi ad esempio il punto C(-5,-3)
• Nel quarto quadrante i punti hanno la prima coordinata positiva e la seconda negativa
  -vedi ad esempio il punto D(3,-4)
  

---

L'asse orizzontale sara' chiamato asse x oppure asse delle ascisse e i suoi punti avranno sempre la seconda coordinata uguale a zero
(1,0) (2,0) (3,0) sono tutti punti sull'asse x.

---

L'asse verticale sara' chiamato asse y oppure asse delle ordinate e i suoi punti avranno sempre la prima coordinata uguale a zero
(0,1) (0,2) (0,3) sono tutti punti sull'asse y.

---

Proviamo ora a fare un primo esercizio

Convenzioni

Indicheremo i punti del piano con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino:

A, B, C, D, ...

mentre indicheremo le coppie di numeri reali corrispondenti, con le lettere minuscole

(x,y)

con la convenzione di usare le prime lettere dell'alfabeto

(a,b), (c,d)

oppure le ultime lettere dotate di indici

(x₁, y₁,)    (x₂, y₂,)    (x₃, y₃)

per indicare i valori che ci sono noti.

---

Invece useremo le ultime lettere dell'alfabeto senza indici per valori che non conosciamo e che debbono essere trovati.

(x, y)

---

inoltre: indichera' sempre l'origine

---

quindi:
A=(x₁, y₁)  indichera' un punto di cui conosciamo il valore
P=(x, y)  indichera' un punto di cui dobbiamo trovare il valore

Distanza fra due punti nel piano

Consideriamo i punti nel piano
A = (x₁, y₁)       B = (x₂, y₂)      
voglio trovare la loro distanza.

---

il fatto di indicare le coordinate con x₁, y₁, x₂, y₂ significa che in un problema questi dati debbono essere noti

---

Per comodita' supponiamo che entrambe i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH.
Di esso conoscoAH= x₂- x₁
BH= y₂- y₁
Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare AB
AB² = AH² + BH²
AB = (AH² + BH²)
Sostituendo:AB = [(x₂- x₁)² + (y₂- y₁)²]      come si legge

---

la radice comprende tutta l'espressione dopo l'uguale; per indicarlo io ho dovuto mettere le parentesi quadre, invece tu, se prolunghi la barra superiore della radice, non devi usarle

---

e questa e' la formula che cercavamo
qualche esercizio

Punto medio di un segmento

Conoscendo le coordinate di due punti nel piano e' possibile determinare le coordinate del loro punto intermedio (punto medio del segmento)

---

Consideriamo i punti nel piano
A = (x₁, y₁)       B = (x₂, y₂)      
Inoltre chiamo M = (x_M, y_M)
il loro punto di mezzo
Per comodita' supponiamo che i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A , B e M traccio le coordinate
Sull'asse x le proiezioni saranno A' , B' e M'
Poiche' M e' il punto di mezzo fra A e B allora anche M' sara' il punto di mezzo fra A' e B'

---

Per il Teorema di Talete essendo le verticali fra loro parallele

---

quindiA'M' =M'B'
Sostituendo le misurex_M - x₁ = x₂ - x_M
devo ricavare x_M x_M + x_M = x₁ + x₂
2x_M = x₁ + x₂

          x₁ + x₂ x_M = --------------
               2
Come ho trovato il punto medio sulle x posso trovarlo sulle y

          y₁ + y₂ y_M = --------------
               2
Riepilogando M = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 ) Il punto medio di un segmento di estremi dati e' dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi
Esempio: trovare il punto medio del segmento di estremi A(2,3) e B(4,7)
x_M = (2 + 4)/2 = 6/2 =3
y_M = (3 + 7)/2 = 10/2 =5
quindi M(3,5)