Equazioni di primo grado

Equazioni

Si chiama equazione di primo grado un'uguaglianza che puo' diventare vera sostituendo alla lettera (incognita) un valore particolare detto soluzione

esempio: se scrivo

3x - 6 = 0
se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0mentre se metto altri numeri non e' vera
Allora quando avremo un problema, per trovare il valore di un dato che non conosciamo bastera' impostarne l'equazione relativa e risolverla: il valore che mi risolve l'equazione sara' il valore del dato che cerchiamo

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Le equazioni sono le frasi della matematica: l'equazione precedente dice che devo trovare il numero (cioè la x) tale che se dal triplo del numero (3x) tolgo (-) sei (6) ottengo (=) zero (0).

I principi di equivalenza delle equazioni

I componenti della macchina "equazione" sono due: il primo ed il secondo principio di equivalenza: sono fondamentali e devono essere assolutamente ben capiti

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Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che:
Aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantita' l'equazione resta equivalente alla data

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Per membro di un'equazione si intende tutto cio' che c'e' prima dell'uguale (primo membro) e tuto cio' che c'e' dopo l'uguale (secondo membro)

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esempio:
3x - 6 = 0
aggiungo +6 ad entrambi i membri

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intendiamoci: potrei aggiungere o togliere qualunque numero ma io aggiungo il numero (col segno cambiato cosi' va via) che c'e' vicino al termine con la x per rendere l'equazione piu' semplice

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ottengo

3x -6 + 6 = 0 + 6
3x = 6

Poiche' il primo principio e' scomodo da usare quando abbiamo tanti termini e poiche' bisogna, per risolvere un'equazione, avere i fattori con la x prima dell'uguale e quelli senza la x dopo l'uguale al posto del primo principio si puo' usare questa regolaposso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale, ma chi salta l'uguale cambia di segno

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che:Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un'equazione per una stessa quantita' diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data

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esempio:
3x = 6
divido da entrambe le parti per 3

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intendiamoci: potrei dividere per qualunque numero che non fosse zero ma io divido per il numero che c'e' davanti alla x per lasciare la x da sola e cosi' risolvere l'equazione

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3x      6
---- = ----

3        3 
 
semplifico

x = 2  e' la soluzione.

Soluzione di un'equazione di primo grado ad una incognita

Lavoriamo su un esempio: ho l'equazione

2x - 4 = 8

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che traduce in linguaggio matematico la frase "Sottraendo 4 dal doppio di un numero ottengo 8"

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Per risolverla devo trasformarla in qualcosa del tipo
x = soluzione
quindi devo lasciare la x da sola prima dell'uguale cioe' devo togliere di mezzo tutti i termini che sono vicini alla x.
Il primo termine che toglierò di mezzo sara' -4 perche' quello meno legato alla x e per farlo usero' il primo principio di equivalenza
aggiungo da entrambe le parti +4 per eliminare il -4 (equivale a trasportare -4 dall'altra parte cambiandolo di segno )
2x - 4 + 4= 8 + 4
2x = 12
Ora devo eliminare il 2 e per eliminare qualcosa in matematica basta fare l'operazione contraria. Il 2 moltiplica la x , quindi per eliminarlo devo dividere per 2 sia prima che dopo l'uguale ( secondo principio di equivalenza)
2x    12
---- = ----
2        2
semplifico
x = 6 e' la soluzione.

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Come hai visto risolvere un'equazione e' un'operazione meccanica che potrei anche affidare ad una macchina, basta applicare prima il primo principio poi il secondo principio di equivalenza

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Equazione possibile, impossibile ed indeterminata

Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio:

Equazione possibile

e' l'equazione vera che afferma cioe' un fatto vero ed unico:

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sommando 4 ad un numero ottengo il doppio del numero stesso.

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Con un po' di logica dico che il numero e' 4:
infatti 4 + 4 = 8 e questo e' un fatto vero.
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 4 = 2x
e risolvendo
x - 2x = -4
-x = -4
x = 4

Quando otteniamo la soluzione del tipo x = numero diciamo che l'equazione e' possibile.

Equazione impossibile

e' l'equazione che afferma un fatto falso:

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sommando 3 ad un numero ottengo lo stesso numero

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Pensandoci sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a se' stesso aggiungendovi 3, quindi la mia affermazione e' impossibile
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo 0 uguale a un numero diciamo che l'equazione e' impossibile

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Equazione indeterminata

e' l'equazione che afferma un fatto vero ma che va bene per infiniti numeri.

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sommando 5 ad un numero ottengo lo stesso numero aumentato di 5

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e' un fatto vero ma che non mi individua il numero perche' e' vero per qualunque numero
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 5 = x + 5
e risolvendo
x - x = 5 - 5
0 = 0

Quando otteniamo zero uguale a zero diciamo che l'equazione e' indeterminata.

Riassumendo:

• x = numero Equazione possibile (una sola soluzione)
• 0 = numero Equazione impossible (nessuna soluzione)
• 0 = 0 Equazione indeterminata (infinite soluzioni)