Equazioni
Si
chiama equazione di primo grado un'uguaglianza che puo' diventare
vera sostituendo alla lettera (incognita) un valore particolare detto
soluzione
esempio: se scrivo
3x
- 6 = 0
se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0mentre se metto altri numeri non e' vera
Allora quando avremo un problema, per trovare il valore di un dato che non conosciamo bastera' impostarne l'equazione relativa e risolverla: il valore che mi risolve l'equazione sara' il valore del dato che cerchiamo
se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0mentre se metto altri numeri non e' vera
Allora quando avremo un problema, per trovare il valore di un dato che non conosciamo bastera' impostarne l'equazione relativa e risolverla: il valore che mi risolve l'equazione sara' il valore del dato che cerchiamo
Le
equazioni sono le frasi della matematica: l'equazione precedente dice
che devo trovare il numero (cioè la x)
tale che se dal triplo del
numero (3x)
tolgo (-)
sei (6)
ottengo (=)
zero (0).
I
principi di equivalenza delle equazioni
I
componenti della macchina "equazione" sono due: il primo ed
il secondo principio di equivalenza: sono fondamentali e devono
essere assolutamente ben capiti
Primo
principio di equivalenza
Il
primo principio di equivalenza delle equazioni dice che:
Aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantita' l'equazione resta equivalente alla data
Aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantita' l'equazione resta equivalente alla data
Per
membro di un'equazione si intende tutto cio' che c'e' prima
dell'uguale (primo membro) e tuto cio' che c'e' dopo l'uguale
(secondo membro)
esempio:
3x - 6 = 0
aggiungo +6 ad entrambi i membri
3x - 6 = 0
aggiungo +6 ad entrambi i membri
intendiamoci:
potrei aggiungere o togliere qualunque numero ma io aggiungo il
numero (col segno cambiato cosi' va via) che c'e' vicino al termine
con la x per rendere l'equazione piu' semplice
ottengo
3x -6 + 6 = 0 + 6
3x = 6
Poiche'
il primo principio e' scomodo da usare quando abbiamo tanti termini e
poiche' bisogna, per risolvere un'equazione, avere i fattori con la x
prima dell'uguale e quelli senza la x dopo l'uguale al posto del
primo principio si puo' usare questa regolaposso
trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale, ma chi
salta l'uguale cambia di segno
Secondo
principio di equivalenza
Il
secondo principio di equivalenza delle equazioni dice
che:Moltiplicando o
dividendo entrambe i membri di un'equazione per una stessa quantita'
diversa
da zero
l'equazione
resta equivalente alla data
esempio:
3x = 6
divido da entrambe le parti per 3
3x = 6
divido da entrambe le parti per 3
intendiamoci:
potrei dividere per qualunque numero che non fosse zero ma io divido
per il numero che c'e' davanti alla x per lasciare la x da sola e
cosi' risolvere l'equazione
3x
6
---- = ----
---- = ----
3 3
semplifico
x = 2 e' la soluzione.
semplifico
x = 2 e' la soluzione.
Soluzione
di un'equazione di primo grado ad una incognita
Lavoriamo
su un esempio: ho l'equazione
2x
- 4 = 8
che
traduce in linguaggio matematico la frase "Sottraendo 4 dal
doppio di un numero ottengo 8"
Per
risolverla devo trasformarla in qualcosa del tipo
x = soluzione
quindi devo lasciare la x da sola prima dell'uguale cioe' devo togliere di mezzo tutti i termini che sono vicini alla x.
Il primo termine che toglierò di mezzo sara' -4 perche' quello meno legato alla x e per farlo usero' il primo principio di equivalenza
aggiungo da entrambe le parti +4 per eliminare il -4 (equivale a trasportare -4 dall'altra parte cambiandolo di segno )
2x - 4 + 4= 8 + 4
2x = 12
Ora devo eliminare il 2 e per eliminare qualcosa in matematica basta fare l'operazione contraria. Il 2 moltiplica la x , quindi per eliminarlo devo dividere per 2 sia prima che dopo l'uguale ( secondo principio di equivalenza)
2x 12
---- = ----
2 2
semplifico
x = 6 e' la soluzione.
x = soluzione
quindi devo lasciare la x da sola prima dell'uguale cioe' devo togliere di mezzo tutti i termini che sono vicini alla x.
Il primo termine che toglierò di mezzo sara' -4 perche' quello meno legato alla x e per farlo usero' il primo principio di equivalenza
aggiungo da entrambe le parti +4 per eliminare il -4 (equivale a trasportare -4 dall'altra parte cambiandolo di segno )
2x - 4 + 4= 8 + 4
2x = 12
Ora devo eliminare il 2 e per eliminare qualcosa in matematica basta fare l'operazione contraria. Il 2 moltiplica la x , quindi per eliminarlo devo dividere per 2 sia prima che dopo l'uguale ( secondo principio di equivalenza)
2x 12
---- = ----
2 2
semplifico
x = 6 e' la soluzione.
Come
hai visto risolvere un'equazione e' un'operazione meccanica che
potrei anche affidare ad una macchina, basta applicare prima il primo
principio poi il secondo principio di equivalenza
Equazione possibile, impossibile ed indeterminata
Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio:
Equazione
possibile
e'
l'equazione vera che afferma cioe' un fatto vero ed unico:
sommando
4 ad un numero ottengo il doppio del numero stesso.
Con
un po' di logica dico che il numero e' 4:
infatti 4 + 4 = 8 e questo e' un fatto vero.
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 4 = 2x
e risolvendo
x - 2x = -4
-x = -4
x = 4
infatti 4 + 4 = 8 e questo e' un fatto vero.
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 4 = 2x
e risolvendo
x - 2x = -4
-x = -4
x = 4
Quando
otteniamo la soluzione del tipo x =
numero diciamo che l'equazione e'
possibile.
Equazione impossibile
e'
l'equazione che afferma un fatto falso:
sommando
3 ad un numero ottengo lo stesso numero
Pensandoci
sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a se' stesso
aggiungendovi 3, quindi la mia affermazione e' impossibile
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo 0 uguale a un numero diciamo che l'equazione e' impossibile
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo 0 uguale a un numero diciamo che l'equazione e' impossibile
Equazione
indeterminata
e'
l'equazione che afferma un fatto vero ma che va bene per infiniti
numeri.
sommando
5 ad un numero ottengo lo stesso numero aumentato di 5
e'
un fatto vero ma che non mi individua il numero perche' e' vero per
qualunque numero
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 5 = x + 5
e risolvendo
x - x = 5 - 5
0 = 0
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 5 = x + 5
e risolvendo
x - x = 5 - 5
0 = 0
Quando
otteniamo zero uguale a zero
diciamo che l'equazione e' indeterminata.
Riassumendo:
- x = numero Equazione possibile (una sola soluzione)
- 0 = numero Equazione impossible (nessuna soluzione)
- 0 = 0 Equazione indeterminata (infinite soluzioni)
