Equazioni di primo grado

Equazioni

Si chiama equazione di primo grado un'uguaglianza che puo' diventare vera sostituendo alla lettera (incognita) un valore particolare detto soluzione

esempio: se scrivo

3x - 6 = 0
se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0mentre se metto altri numeri non e' vera
Allora quando avremo un problema, per trovare il valore di un dato che non conosciamo bastera' impostarne l'equazione relativa e risolverla: il valore che mi risolve l'equazione sara' il valore del dato che cerchiamo

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Le equazioni sono le frasi della matematica: l'equazione precedente dice che devo trovare il numero (cioè la x) tale che se dal triplo del numero (3x) tolgo (-) sei (6) ottengo (=) zero (0).

I principi di equivalenza delle equazioni

I componenti della macchina "equazione" sono due: il primo ed il secondo principio di equivalenza: sono fondamentali e devono essere assolutamente ben capiti

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Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che:
Aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantita' l'equazione resta equivalente alla data

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Per membro di un'equazione si intende tutto cio' che c'e' prima dell'uguale (primo membro) e tuto cio' che c'e' dopo l'uguale (secondo membro)

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esempio:
3x - 6 = 0
aggiungo +6 ad entrambi i membri

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intendiamoci: potrei aggiungere o togliere qualunque numero ma io aggiungo il numero (col segno cambiato cosi' va via) che c'e' vicino al termine con la x per rendere l'equazione piu' semplice

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ottengo

3x -6 + 6 = 0 + 6
3x = 6

Poiche' il primo principio e' scomodo da usare quando abbiamo tanti termini e poiche' bisogna, per risolvere un'equazione, avere i fattori con la x prima dell'uguale e quelli senza la x dopo l'uguale al posto del primo principio si puo' usare questa regolaposso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale, ma chi salta l'uguale cambia di segno

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che:Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un'equazione per una stessa quantita' diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data

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esempio:
3x = 6
divido da entrambe le parti per 3

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intendiamoci: potrei dividere per qualunque numero che non fosse zero ma io divido per il numero che c'e' davanti alla x per lasciare la x da sola e cosi' risolvere l'equazione

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3x      6
---- = ----

3        3 
 
semplifico

x = 2  e' la soluzione.

Soluzione di un'equazione di primo grado ad una incognita

Lavoriamo su un esempio: ho l'equazione

2x - 4 = 8

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che traduce in linguaggio matematico la frase "Sottraendo 4 dal doppio di un numero ottengo 8"

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Per risolverla devo trasformarla in qualcosa del tipo
x = soluzione
quindi devo lasciare la x da sola prima dell'uguale cioe' devo togliere di mezzo tutti i termini che sono vicini alla x.
Il primo termine che toglierò di mezzo sara' -4 perche' quello meno legato alla x e per farlo usero' il primo principio di equivalenza
aggiungo da entrambe le parti +4 per eliminare il -4 (equivale a trasportare -4 dall'altra parte cambiandolo di segno )
2x - 4 + 4= 8 + 4
2x = 12
Ora devo eliminare il 2 e per eliminare qualcosa in matematica basta fare l'operazione contraria. Il 2 moltiplica la x , quindi per eliminarlo devo dividere per 2 sia prima che dopo l'uguale ( secondo principio di equivalenza)
2x    12
---- = ----
2        2
semplifico
x = 6 e' la soluzione.

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Come hai visto risolvere un'equazione e' un'operazione meccanica che potrei anche affidare ad una macchina, basta applicare prima il primo principio poi il secondo principio di equivalenza

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Equazione possibile, impossibile ed indeterminata

Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio:

Equazione possibile

e' l'equazione vera che afferma cioe' un fatto vero ed unico:

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sommando 4 ad un numero ottengo il doppio del numero stesso.

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Con un po' di logica dico che il numero e' 4:
infatti 4 + 4 = 8 e questo e' un fatto vero.
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 4 = 2x
e risolvendo
x - 2x = -4
-x = -4
x = 4

Quando otteniamo la soluzione del tipo x = numero diciamo che l'equazione e' possibile.

Equazione impossibile

e' l'equazione che afferma un fatto falso:

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sommando 3 ad un numero ottengo lo stesso numero

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Pensandoci sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a se' stesso aggiungendovi 3, quindi la mia affermazione e' impossibile
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo 0 uguale a un numero diciamo che l'equazione e' impossibile

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Equazione indeterminata

e' l'equazione che afferma un fatto vero ma che va bene per infiniti numeri.

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sommando 5 ad un numero ottengo lo stesso numero aumentato di 5

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e' un fatto vero ma che non mi individua il numero perche' e' vero per qualunque numero
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 5 = x + 5
e risolvendo
x - x = 5 - 5
0 = 0

Quando otteniamo zero uguale a zero diciamo che l'equazione e' indeterminata.

Riassumendo:

• x = numero Equazione possibile (una sola soluzione)
• 0 = numero Equazione impossible (nessuna soluzione)
• 0 = 0 Equazione indeterminata (infinite soluzioni)

Piano cartesiano

Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

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in pratica dobbiamo riprendere il sistema come fatto sulla retta e lo applichiamo su due rette perpendicolari

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Consideriamo un piano e, su di esso, due rette fra loro perpendicolari e un'unita' di misura u
Indichiamo come punto O (origine) il punto di incontro delle rette e ad esso assegniamo la coppia di valori (0,0)
Sulla retta orizzontale fisso il punto 1 ottenuto riportando a destra di O l'unita' di misura.
Sulla retta verticale fisso il punto 1 ottenuto riportando in alto rispetto ad O l'unita' di misura.
Dal primo punto ottenuto mando la verticale e dal secondo l'orizzontale; chiamo U (unita') o punto (1,1) il punto ottenuto.
In questo modo ottengo una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali, nel senso che ad ogni coppia di numeri corrisponde un punto nel piano e ad ogni punto nel piano corrisponde una coppia di numeri reali.

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Indicheremo con x o asse delle ascisse la retta orizzontale
indicheremo invece con y o asse delle ordinate la retta verticale

Ancora sul piano cartesiano

Con la costruzione precedente abbiamo diviso il piano in 4 parti che chiameremo quadranti e di solito vengono indicati con numeri romani

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• Nel primo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate positive
  -vedi ad esempio il punto A(2,3)_
• Nel secondo quadrante i punti hanno la prima coordinata negativa e la seconda positiva
  -vedi ad esempio il punto B(-4,2)
• Nel terzo quadrante i punti hanno entrambe le coordinate negative
  -vedi ad esempio il punto C(-5,-3)
• Nel quarto quadrante i punti hanno la prima coordinata positiva e la seconda negativa
  -vedi ad esempio il punto D(3,-4)
  

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L'asse orizzontale sara' chiamato asse x oppure asse delle ascisse e i suoi punti avranno sempre la seconda coordinata uguale a zero
(1,0) (2,0) (3,0) sono tutti punti sull'asse x.

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L'asse verticale sara' chiamato asse y oppure asse delle ordinate e i suoi punti avranno sempre la prima coordinata uguale a zero
(0,1) (0,2) (0,3) sono tutti punti sull'asse y.

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Proviamo ora a fare un primo esercizio

Convenzioni

Indicheremo i punti del piano con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino:

A, B, C, D, ...

mentre indicheremo le coppie di numeri reali corrispondenti, con le lettere minuscole

(x,y)

con la convenzione di usare le prime lettere dell'alfabeto

(a,b), (c,d)

oppure le ultime lettere dotate di indici

(x₁, y₁,)    (x₂, y₂,)    (x₃, y₃)

per indicare i valori che ci sono noti.

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Invece useremo le ultime lettere dell'alfabeto senza indici per valori che non conosciamo e che debbono essere trovati.

(x, y)

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inoltre: indichera' sempre l'origine

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quindi:
A=(x₁, y₁)  indichera' un punto di cui conosciamo il valore
P=(x, y)  indichera' un punto di cui dobbiamo trovare il valore

Distanza fra due punti nel piano

Consideriamo i punti nel piano
A = (x₁, y₁)       B = (x₂, y₂)      
voglio trovare la loro distanza.

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il fatto di indicare le coordinate con x₁, y₁, x₂, y₂ significa che in un problema questi dati debbono essere noti

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Per comodita' supponiamo che entrambe i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH.
Di esso conoscoAH= x₂- x₁
BH= y₂- y₁
Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare AB
AB² = AH² + BH²
AB = (AH² + BH²)
Sostituendo:AB = [(x₂- x₁)² + (y₂- y₁)²]      come si legge

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la radice comprende tutta l'espressione dopo l'uguale; per indicarlo io ho dovuto mettere le parentesi quadre, invece tu, se prolunghi la barra superiore della radice, non devi usarle

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e questa e' la formula che cercavamo
qualche esercizio

Punto medio di un segmento

Conoscendo le coordinate di due punti nel piano e' possibile determinare le coordinate del loro punto intermedio (punto medio del segmento)

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Consideriamo i punti nel piano
A = (x₁, y₁)       B = (x₂, y₂)      
Inoltre chiamo M = (x_M, y_M)
il loro punto di mezzo
Per comodita' supponiamo che i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano
Da A , B e M traccio le coordinate
Sull'asse x le proiezioni saranno A' , B' e M'
Poiche' M e' il punto di mezzo fra A e B allora anche M' sara' il punto di mezzo fra A' e B'

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Per il Teorema di Talete essendo le verticali fra loro parallele

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quindiA'M' =M'B'
Sostituendo le misurex_M - x₁ = x₂ - x_M
devo ricavare x_M x_M + x_M = x₁ + x₂
2x_M = x₁ + x₂

          x₁ + x₂ x_M = --------------
               2
Come ho trovato il punto medio sulle x posso trovarlo sulle y

          y₁ + y₂ y_M = --------------
               2
Riepilogando M = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 ) Il punto medio di un segmento di estremi dati e' dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi
Esempio: trovare il punto medio del segmento di estremi A(2,3) e B(4,7)
x_M = (2 + 4)/2 = 6/2 =3
y_M = (3 + 7)/2 = 10/2 =5
quindi M(3,5)