Per i ragazzi della II F
Abbiamo visto che una delle discipline che Pitagora insegnava nella sua scuola era la musica; ma, potreste chiedervi: cosa c'entra la musica con la matematica?
“do,
re, mi, fa, sol, la, si” sono le note musicali; dove sono le
frazioni?
Pensate
alla chitarra, al violino, al mandolino, .... Per produrre un suono
con uno di questi strumenti si pizzica una corda: si vede allora la
corda vibrare e, contemporaneamente, si ode un suono.
"Il
suono è vibrazione"
Anche
senza avere uno strumento musicale, ve ne potete rendere conto con un
semplice esperimento: prendete un pezzo di spago sottile ma
resistente, o meglio un filo di nylon, lungo circa 90 centimetri.
Fissatene
una estremità, per esempio, alla maniglia di una porta, e, tenendo
lo spago ben teso con la mano sinistra, pizzicatelo con la destra:
sentirete un suono grave.
Adesso,
tirate di più lo spago, e pizzicate ancora: il suono è più acuto
del precedente.
Poi,
partendo dalle condizioni della prima esperienza, riducete la
lunghezza dello spago a 1/3,
fate cioè in modo che sia lungo circa 30 centimetri. Ripetete
l’esperimento: udirete un suono più acuto di quello che si aveva
con lo spago lungo.
Con
questi esperimenti ci si rende conto che ci sono due modi per
ottenere un suono più acuto: tendere lo spago di più o scorciarlo.
Perché
il suono risulta più acuto? Che cosa accade in questi due casi?
Accade che aumenta il numero delle vibrazioni al secondo, e
l’altezza del suono — essere grave o acuto — dipende dal numero
delle vibrazioni.
Più
questo numero è grande e più il suono è acuto.
Arriviamo
adesso alla matematica attraverso esperimenti più precisi.
Prendiamo
tante corde dello stesso materiale e ugualmente tese. Se sono della
stessa lunghezza, quando le pizzico, per esempio nel punto di mezzo,
odo lo stesso suono; ma se una corda è più corta, il suono risulta
più acuto.
Partiamo
da una corda AB
se
la riduco esattamente a metà ho la corda CD
e
accade che il numero delle vibrazioni diventa esattamente il doppio
(si può misurare con degli apparecchi speciali). Bene, il suono che
si ode è più acuto di quello dato da AB, ma dà la stessa
sensazione sonora: è un suono “uguale”.
Ora
invece, scorciamo la corda ma senza dividerla proprio a metà;
facciamone per esempio i 2/3
otterremo
la corda EF
Ripetiamo
l’esperimento: si produrrà un suono che dà una sensazione diversa
da quella di prima.
E
chiaro che potrei scorciare la corda a piacere, e avere così
infinite note. Ma l’orecchio umano non distinguerebbe tutti questi
suoni.
Si
è trovato che basta scorciare la corda in
7 modi diversi per
avere sensazioni sonore diverse. Alle 7 lunghezze della corda
corrispondono 7 diversi numeri di vibrazione della corda, e, dunque,
7 suoni diversi: le
7 note musicali. Si va di 7 in 7, di ottava in
ottava.
Suonando
la lira, nel 500
a.C.,
Pitagora aveva
scoperto questo, anzi... molto più di questo: aveva scoperto la
scala naturale.
La scala naturale è composta di 7 suoni diversi, cioè di 7 note che
furono poi chiamate do,
re, mi, fa, sol, la, si.
Queste note corrispondono a determinate lunghezze della corda. Ecco
come si ottiene il re:
se il do di
un’ottava, cioè di una certa altezza, si ottiene da una corda
lunga “1”, il re si
ottiene da una corda lunga gli 8/9 della corda che dà il do
Ciò
significa che il numero
delle vibrazioni della
corda che da il re è
i 9/8 del
numero delle vibrazioni del do (ricordatevi:
se scorcio la corda, il numero delle vibrazioni aumenta, e
precisamente se la corda diventa la metà, il numero delle vibrazioni
raddoppia; se diventa un terzo, il numero delle vibrazioni triplica;
se diventa gli 8/9, il numero delle vibrazioni diventai i 9/8) cioè:
la
lunghezza della corda e il numero di vibrazioni sono grandezze
inversamente proporzionali
Per
ottenere il mi,
partendo sempre dalla corda “1” corrispondente al do,
bisogna prenderne i 4/5
Il mi corrisponde
dunque a un numero di vibrazioni uguali ai 5/4 delle vibrazioni
del do.
Ecco
le sette note con indicato, in corrispondenza, il numero delle
vibrazioni:
note
do
re
mi
fa
sol
la
si
n°
vibraz.
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
Abbiamo
confrontato tutte le note con il do e,
per semplicità, abbiamo fissato uguale a 1 il
numero delle vibrazioni del do.
Ma, per convenzione, tutte le note si riportano al la,
al suono cioè che si ottiene pizzicando una corda di lunghezza tale
da compiere 440
vibrazioni al secondo.
Allora,
il numero delle vibrazioni delle altre note sarà (tenete presente il
quadro delle note e del numero di vibrazioni che abbiamo scritto
prima):
do =
3/5 * 440 = 264
re =
9/8 do =
9/8 * 264 = 297
mi =
5/4 do =
5/4 * 264 = 330
fa =
4/3 do =
4/3 * 264 = 352
sol =
3/2 do =
3/2 * 264 = 396
la =
440
si =
15/8 do =
15/8 * 264 = 495
Molti
secoli sono passati dal tempo di Pitagora che è stato il primo a
capire la relazione musica-numero. Variazioni e perfezionamenti
sono stati apportati alla scala naturale, ma lo stretto rapporto fra
musica e numero rimane sempre. Quando suonate la chitarra,
assieme al suono, voi, senza accorgervene, fate della matematica!
Si è trovato che basta scorciare la corda in 7 modi diversi per avere sensazioni sonore diverse. Alle 7 lunghezze della corda corrispondono 7 diversi numeri di vibrazione della corda, e, dunque, 7 suoni diversi: le 7 note musicali. Si va di 7 in 7, di ottava in ottava.
note
do
re
mi
fa
sol
la
si
n°
vibraz.
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
Da "Numeri" di Emma Castelnuovo
