Matematica e Musica

Per i ragazzi della II F

Abbiamo visto che una delle discipline che Pitagora insegnava nella sua scuola era la musica; ma, potreste chiedervi: cosa c'entra la musica con la matematica?

“do, re, mi, fa, sol, la, si” sono le note musicali; dove sono le frazioni? 

Pensate alla chitarra, al violino, al mandolino, .... Per produrre un suono con uno di questi strumenti si pizzica una corda: si vede allora la corda vibrare e, contemporaneamente, si ode un suono.

"Il suono è vibrazione"

Anche senza avere uno strumento musicale, ve ne potete rendere conto con un semplice esperimento: prendete un pezzo di spago sottile ma resistente, o meglio un filo di nylon, lungo circa 90 centimetri.

Fissatene una estremità, per esempio, alla maniglia di una porta, e, tenendo lo spago ben teso con la mano sinistra, pizzicatelo con la destra: sentirete un suono grave.

Adesso, tirate di più lo spago, e pizzicate ancora: il suono è più acuto del precedente. 

Poi, partendo dalle condizioni della prima esperienza, riducete la lunghezza dello spago a 1/3,  fate cioè in modo che sia lungo circa 30 centimetri. Ripetete l’esperimento: udirete un suono più acuto di quello che si aveva con lo spago lungo.

Con questi esperimenti ci si rende conto che ci sono due modi per ottenere un suono più acuto: tendere lo spago di più o scorciarlo. 

Perché il suono risulta più acuto? Che cosa accade in questi due casi? Accade che aumenta il numero delle vibrazioni al secondo, e l’altezza del suono — essere grave o acuto — dipende dal numero delle vibrazioni. 

Più questo numero è grande e più il suono è acuto.

Arriviamo adesso alla matematica attraverso esperimenti più precisi. 

Prendiamo tante corde dello stesso materiale e ugualmente tese. Se sono della stessa lunghezza, quando le pizzico, per esempio nel punto di mezzo, odo lo stesso suono; ma se una corda è più corta, il suono risulta più acuto. 

Partiamo da una corda AB

se la riduco esattamente a metà ho la corda CD

e accade che il numero delle vibrazioni diventa esattamente il doppio (si può misurare con degli apparecchi speciali). Bene, il suono che si ode è più acuto di quello dato da AB, ma dà la stessa sensazione sonora: è un suono “uguale”. 

Ora invece, scorciamo la corda ma senza dividerla proprio a metà; facciamone per esempio i 2/3

otterremo la corda EF

Ripetiamo l’esperimento: si produrrà un suono che dà una sensazione diversa da quella di prima. 

E chiaro che potrei scorciare la corda a piacere, e avere così infinite note. Ma l’orecchio umano non distinguerebbe tutti questi suoni. 

Si è trovato che basta scorciare la corda in 7 modi diversi per avere sensazioni sonore diverse. Alle 7 lunghezze della corda corrispondono 7 diversi numeri di vibrazione della corda, e, dunque, 7 suoni diversi: le 7 note musicali. Si va di 7 in 7, di ottava in ottava.

Suonando la lira, nel 500 a.C., 

Pitagora aveva scoperto questo, anzi... molto più di questo: aveva scoperto la scala naturale.  La scala naturale è composta di 7 suoni diversi, cioè di 7 note che furono poi chiamate do, re, mi, fa, sol, la, si. Queste note corrispondono a determinate lunghezze della corda. Ecco come si ottiene il re: se il do di un’ottava, cioè di una certa altezza, si ottiene da una corda lunga “1”, il re si ottiene da una corda lunga gli 8/9 della corda che dà il do

 

Ciò significa che il numero delle vibrazioni della corda che da il re è i 9/8 del numero delle vibrazioni del do (ricordatevi: se scorcio la corda, il numero delle vibrazioni aumenta, e precisamente se la corda diventa la metà, il numero delle vibrazioni raddoppia; se diventa un terzo, il numero delle vibrazioni triplica; se diventa gli 8/9, il numero delle vibrazioni diventai i 9/8) cioè:

la lunghezza della corda e il numero di vibrazioni sono grandezze inversamente proporzionali

Per ottenere il mi, partendo sempre dalla corda “1” corrispondente al do, bisogna prenderne i 4/5

Il mi corrisponde dunque a un numero di vibrazioni uguali ai 5/4 delle vibrazioni del do.

Ecco le sette note con indicato, in corrispondenza, il numero delle vibrazioni: 

note	do	re	mi	fa	sol	la	si
n° vibraz.	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8

Abbiamo confrontato tutte le note con il do e, per semplicità, abbiamo fissato uguale a 1 il numero delle vibrazioni del do. Ma, per convenzione, tutte le note si riportano al la, al suono cioè che si ottiene pizzicando una corda di lunghezza tale da compiere 440 vibrazioni al secondo.

Allora, il numero delle vibrazioni delle altre note sarà (tenete presente il quadro delle note e del numero di vibrazioni che abbiamo scritto prima):

do = 3/5 * 440 = 264

re = 9/8 do = 9/8 * 264 = 297

mi = 5/4 do = 5/4 * 264 = 330

fa = 4/3 do = 4/3 * 264 = 352

sol = 3/2 do = 3/2 * 264 = 396

la = 440

si = 15/8 do = 15/8 * 264 = 495

Molti secoli sono passati dal tempo di Pitagora che è stato il primo a capire la relazione musica-numero. Variazioni e perfezionamenti sono stati apportati alla scala naturale, ma lo stretto rapporto fra musica e numero rimane sempre.  Quando suonate la chitarra, assieme al suono, voi, senza accorgervene, fate della matematica!

Da "Numeri" di Emma Castelnuovo